Ciąg arytmetyczny - teoria i zadania
Matematyka, matura podstawowa
Ciąg arytmetyczny Ciąg $(a_n)$ jest arytmetyczny , gdy różnica między każdym wyrazem a wyrazem go poprzedzającym jest stała. Tę stałą nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą $r$. $a_{n+1} - a_n = r \quad \text{dla każdego } n \geq 1$ Wzory z karty maturalnej Te wzory masz na egzaminie - musisz umieć je stosować. Wzór na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot r$ Wzór na sumę $n$ wyrazów (dwie postacie): $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ $S_n = \frac{2a_1 + (n-1) \cdot r}{2} \cdot n$ Własność wyrazu środkowego: $a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \quad \text{dla } n \geq 2$ Wzory spoza karty - warto znać Zamiast wzoru z $a_1$ możesz użyć wzoru z dowolnego wyrazu $a_k$: $a_n = a_k + (n-k) \cdot r$ Skraca to obliczenia, gdy znasz inny wyraz niż pierwszy. Monotoniczność $r > 0$: ciąg rosnący $r $r = 0$: ciąg stały (wszystkie wyrazy równe $a_1$) Przykłady Ciąg $2, 5, 8, 11, 14, \ldots$ - różnica $r = 3$, wzór $a_n = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1$. Ciąg $10, 7, 4, 1, -2, \ldots$ - różnica $r = -3$, ciąg malejący, wyrazy stają się ujemne od czwartego wyrazu. Jak rozwiązywać zadania z sumą Gdy znasz $a_1$, $a_n$ i $n$ - używaj pierwszego wzoru na $S_n$. Gdy znasz $a_1$, $r$ i $n$ - używaj drugiego. Nie ma sensu pamiętać który „lepszy” - wystarczy wybrać ten, w którym masz wszystkie dane. Zastosowanie: równy wzrost Ciąg arytmetyczny opisuje sytuacje, w których coś rośnie (lub maleje) o stałą wartość. Przykład: pracownik zarabia 3000 zł w pierwszym roku, każdy rok daje…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.