Ciąg geometryczny - teoria i zadania
Matematyka, matura podstawowa
Ciąg geometryczny Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny , gdy iloraz każdego wyrazu do wyrazu poprzedniego jest stały. Ten iloraz nazywamy ilorazem ciągu i oznaczamy $q$. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego muszą być niezerowe. $\frac{a_{n+1}}{a_n} = q \quad \text{dla każdego } n \geq 1$ Wzory z karty maturalnej Wzór na $n$-ty wyraz: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ Wzór na sumę $n$ wyrazów: $S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \quad \text{dla } q \neq 1$ $S_n = n \cdot a_1 \quad \text{dla } q = 1$ Własność wyrazu środkowego: $a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1} \quad \text{dla } n \geq 2$ Procent składany (na karcie maturalnej): $K_n = K \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$ gdzie $K$ - kapitał początkowy, $p$ - oprocentowanie roczne, $n$ - liczba lat. Monotoniczność Gdy $a_1 > 0$: $q > 1$: ciąg rosnący $0 $q Gdy $a_1 Uwaga na pułapki Ciąg $2, 6, 18, 54, \ldots$ ma $q = 3$ i jest rosnący. Ciąg $16, 8, 4, 2, 1, \ldots$ ma $q = \frac{1}{2}$ i jest malejący - mimo że $q > 0$! To częsty błąd na maturze. Przy ujemnym ilorazie wyrazy ciągu na przemian zmieniają znak, np. $2, -6, 18, -54, \ldots$ (tu $q = -3$). Wzór spoza karty - warto znać Zamiast od $a_1$ można liczyć od dowolnego wyrazu $a_k$: $a_n = a_k \cdot q^{n-k}$ Zastosowanie: procent składany Lokata 1000 zł przy oprocentowaniu 6% rocznie. Po 4 latach: $K_4 = 1000 \cdot \left(1 + \frac{6}{100}\right)^4 = 1000 \cdot 1{,}06^4 \approx 1262{,}48 \text{ zł}$ Wzrost o 6% rocznie oznacza, że każdy rok mnoży kapitał przez…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.