Funkcja wykładnicza i logarytmiczna — teoria i zastosowania
Matematyka, matura podstawowa
Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: $f(x) = a^x$ gdzie $a > 0$ oraz $a \neq 1$. Liczba $a$ to podstawa funkcji wykładniczej. Dziedzina i zbiór wartości Dziedzina: $\mathbb{R}$ (cała oś liczbowa) Zbiór wartości: $(0, +\infty)$ — funkcja wykładnicza przyjmuje wyłącznie wartości dodatnie Własności Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0, 1)$, bo $a^0 = 1$ dla każdego $a > 0$ Jeśli $a > 1$ — funkcja jest rosnąca (np. $2^x$, $3^x$, $10^x$) Jeśli $0 malejąca (np. $\left(\frac{1}{2}\right)^x$, $0{,}3^x$) Funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych — wykres nigdy nie przecina osi $OX$ Asymptota pozioma: oś $OX$ (prosta $y = 0$) Wyznaczanie podstawy ze wzoru Jeżeli wiemy, że punkt $A = (x_0, y_0)$ należy do wykresu $f(x) = a^x$ i $x_0 \neq 0$, to podstawiamy współrzędne: $a^{x_0} = y_0 \quad \Longrightarrow \quad a = y_0^{\,1/x_0}$ (Uwaga: jeśli $x_0 = 0$, to $y_0 = a^0 = 1$ dla każdej podstawy — z punktu $(0, 1)$ nie da się wyznaczyć $a$.) Przykład. Punkt $A = (2, 9)$ należy do wykresu $f(x) = a^x$. Wyznacz $a$. $a^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad a = 3$ (odrzucamy $a = -3$, bo podstawa musi być dodatnia) Sprawdzanie, czy punkt należy do wykresu Aby sprawdzić, czy punkt $B = (x_0, y_0)$ leży na wykresie $f(x) = a^x$, podstawiamy $x_0$ do wzoru i sprawdzamy, czy otrzymamy $y_0$. Przykład. Czy punkt $B = (3, 16)$ należy do wykresu $f(x) = 2^x$? $f(3) = 2^3 = 8 \neq 16$ Punkt $B$ nie należy do wykresu. Równania wykładnicze Równanie postaci $a^x =…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.