Potęgi i pierwiastki - teoria i zadania
Matematyka, matura podstawowa
Potęgi Potęga $a^n$ to iloczyn $n$ czynników równych $a$. Liczba $a$ to podstawa , $n$ to wykładnik . Dla $a \neq 0$ przyjmujemy: $a^0 = 1$ oraz $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Własności potęg (a > 0, b > 0) $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ Przykład: $\dfrac{2^7 \cdot 4^3}{8^2} = \dfrac{2^7 \cdot 2^6}{2^6} = 2^7 = 128$ Pierwiastki Pierwiastek $n$-tego stopnia z liczby $a$ to liczba $b$ taka, że $b^n = a$. Piszemy $b = \sqrt[n]{a}$. Dla parzystego $n$: pierwiastek istnieje tylko gdy $a \geq 0$, wynik jest nieujemny. Dla nieparzystego $n$: pierwiastek istnieje dla każdego $a \in \mathbb{R}$. Własności pierwiastków (a > 0, b > 0) $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$ $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ Zamiana pierwiastków na potęgi $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}, \qquad \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ Przykład: $\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^1 = 2$ Przykład: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{6}}$ Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a \geq 0)$ Przykład: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ Przykład: $\sqrt{75} - \sqrt{12} = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ Usuwanie…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.