Równania i nierówności liniowe - teoria i zadania
Matematyka, matura podstawowa
Równania liniowe Równanie liniowe z jedną niewiadomą ma postać $ax + b = 0$, gdzie $a \neq 0$. Rozwiązaniem jest $x = -\dfrac{b}{a}$. Przekształcamy równanie równoważnie: dodajemy/odejmujemy tę samą liczbę do obu stron, mnożymy/dzielimy obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. Równania sprzeczne i tożsamościowe Równanie sprzeczne — po uproszczeniu daje fałszywe zdanie, np. $3 = 5$. Zbiór rozwiązań: $\emptyset$. Równanie tożsamościowe — po uproszczeniu daje prawdziwe zdanie, np. $0 = 0$. Zbiór rozwiązań: $\mathbb{R}$. Przykład: $2(x+3) = 2x + 6 \Rightarrow 2x+6=2x+6 \Rightarrow 0=0$ — tożsamościowe, $x \in \mathbb{R}$. Równania z ułamkami Mnożymy obie strony przez NWW mianowników, by pozbyć się ułamków. Przykład: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{6} \quad \big/ \cdot 12$ $4x + 3 = 10 \Rightarrow 4x = 7 \Rightarrow x = \dfrac{7}{4}$ Równania wymierne Zawierają zmienną w mianowniku. Należy podać dziedzinę (wartości wykluczające mianownik = 0) i sprawdzić wynik. Przykład: $\dfrac{x+3}{x-1} = \dfrac{x}{2x-2}$ — dziedzina: $x \neq 1$ Mnożymy przez $(x-1)$: $\dfrac{x+3}{x-1} = \dfrac{x}{2(x-1)}$, mnożymy przez $2(x-1)$: $2(x+3) = x \Rightarrow 2x+6=x \Rightarrow x=-6$. Sprawdzamy: $-6 \neq 1$ - OK. Nierówności liniowe Rozwiązujemy jak równanie z jedną ważną różnicą: Przy mnożeniu lub dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak nierówności! Przykład: $3 - 2x > 7 \Rightarrow -2x > 4 \Rightarrow x Zbiór rozwiązań: $x \in (-\infty; -2)$ Nierówności z ułamkami Mnożymy…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.