Teoria — logarytmy
Matematyka, Matura podstawowa
Definicja logarytmu Logarytm liczby $c$ przy podstawie $a$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $c$: $\log_a c = b \iff a^b = c$ przy czym: $a > 0$, $a \neq 1$, $c > 0$. Innymi słowy: logarytm odpowiada na pytanie «do jakiej potęgi podnieść $a$, żeby otrzymać $c$?» Przykłady $\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$ $\log_3 81 = 4$, bo $3^4 = 81$ $\log_5 25 = 2$, bo $5^2 = 25$ $\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$ Logarytm dziesiętny Logarytm o podstawie $10$ zapisujemy w skrócie jako $\log$ (bez podstawy): $\log c = \log_{10} c$ Przykłady: $\log 100 = 2$, bo $10^2 = 100$ $\log 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$ $\log 0{,}01 = -2$, bo $10^{-2} = 0{,}01$ Własności podstawowe Trzy własności, które wynikają wprost z definicji: $\log_a 1 = 0$ — bo $a^0 = 1$ dla każdego $a > 0$ $\log_a a = 1$ — bo $a^1 = a$ $\log_a a^n = n$ — bo $a^n = a^n$ Z trzeciej własności wynika też tożsamość: $a^{\log_a x} = x$ Przykłady: $\log_7 1 = 0$ $\log_5 5 = 1$ $\log_2 2^{10} = 10$ $3^{\log_3 7} = 7$ Wzory działań na logarytmach Poniższe wzory znajdują się na karcie wzorów maturalnych. Obowiązują dla $a > 0$, $a \neq 1$, $x > 0$, $y > 0$. Logarytm iloczynu $\log_a(x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ Przykład: $\log_2(4 \cdot 8) = \log_2 4 + \log_2 8 = 2 + 3 = 5$ Sprawdzenie: $4 \cdot 8 = 32 = 2^5$ ✓ Logarytm ilorazu $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ Przykład: $\log_3 \frac{81}{3} = \log_3 81 - \log_3 3 = 4 - 1 = 3$ Sprawdzenie: $\frac{81}{3} = 27 = 3^3$ ✓ Logarytm…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.