Układy równań liniowych - teoria i zadania
Matematyka, matura podstawowa
Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układ dwóch równań liniowych z niewiadomymi $x$ i $y$ ma postać: $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ Metoda podstawiania Wyznaczamy jedną niewiadomą z jednego równania i podstawiamy do drugiego. Przykład: $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ Z pierwszego: $x = 5 - 3y$. Podstawiamy: $2(5-3y)-y=3 \Rightarrow 10-7y=3 \Rightarrow y=1$, $x=2$. Metoda przeciwnych współczynników Mnożymy równania tak, by jeden ze współczynników przy tej samej niewiadomej miał przeciwne znaki, potem dodajemy stronami. Przykład: $\begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ 2x - y = 14 \end{cases}$ — mnożymy drugie przez $(-5)$: $\begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ -10x + 5y = -70 \end{cases}$ — dodajemy: $-7x = -70$, $x=10$, $y=6$. Interpretacja geometryczna Każde równanie liniowe $ax + by = c$ opisuje prostą na płaszczyźnie. Rozwiązanie układu to punkt przecięcia tych prostych. Układ oznaczony — proste przecinają się w jednym punkcie. Jedno rozwiązanie $(x_0, y_0)$. Układ nieoznaczony — proste pokrywają się. Nieskończenie wiele rozwiązań. Układ sprzeczny — proste są równoległe (i różne). Brak rozwiązań. Kiedy układ jest sprzeczny lub nieoznaczony? Dla układu $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$: Sprzeczny: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$ — takie same współczynniki przy niewiadomych, różne wyrazy wolne. Nieoznaczony: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$…
Darmowe materiały edukacyjne na 3SIDE.